第13讲四点共圆知识导航定义如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”性质⑴同弧所对的圆周角相等⑵圆内接四边形的对角互补⑶圆内接四边形的外角等于内对角如图，若四点共圆，则，，.常用判定⑴若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆⑵若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆⑶共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆经典...
第六讲折叠一、折叠的性质典题精练例题1答案解析标注几何图形初步>相交线与平行线>平行线>题型：折叠问题A.B.C.D.如图，在平行四边形中，是边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的度数为（）．1B 四边形是平行四边形，∴，由折叠的性质得：，，∴，，∴．故选．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．请你观察图，猜2答案解析标...
第二讲旋转（二）一、等腰＋点P典题精练例题1答案解析标注三角形>等腰三角形>等腰等边综合>题型：等边三角形的性质是等边三角形中的一个点，，，，则，三角形的边长为．11．2．略．答案解析如图，在四边形中，，，，则的长为．2作，，连接，，如图，标注三角形>全等三角形>全等形判定>题型：SAS ，即，在与中，，∴≌，∴．由勾股定理得，，由勾股定理得，∴．故答案为.答案如图，已知正方形，、交于点，，若的面积为，则．3解...
第一讲旋转（一）一、手拉手典题精练例题1答案解析已知，如图在中，，，、分别是、的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角（），记直线与的交点为．1如图，当时，直线与的位置关系是．(1)当时，求点到直线的距离．(2)当绕点逆时针旋转一周时，点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出点到直线的最大距离；若不存在，请说明理由．(3)当绕点逆时针旋转一周时，求面积的最大值和最小值．(4)垂直(1)．(2)点到直线的...
第1讲实数初步一、平方根的定义和性质知识导航定义示例剖析平方根⑴概念：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即若，则就叫做的平方根．⑵表示：一个非负数的平方根可用符号表示为“”，读作“正、负根号”，，则和是的平方根的平方根为总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．算术平方根⑴概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．规定：的...
第15讲垂直平分线与角平分线知识导航线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，直线经过线段的中点，并且垂直于线段，则直线就是线段的垂直平分线.线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，点是线段垂直平分线上的点，则.线段垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.经典例题一、垂直平分线答案解析标注【题型...
第10讲数据分析知识总结一、平均数⑴算术平均数：一般地，如果有个数、，，，那么把叫做这个数的算数平均数，简称平均数．【温馨提示】①如果一组数据，，，，得平均数是，则数据,，...，的平均数是．②如果这个数据比较大，而且数值之间接近，我们就可以采用“选基准数”求和的简便算法，给每个数都减去或者加上一个相同的数去算得平均数，再加上或减去这个数即可．⑵加权平均数：在求个数的算术平均数时，如果出现次，出现次...
第1讲二次根式一、二次根式的基本性质知识导航二次根式形如的代数式叫做二次根式．次根式形如的代数式叫做次根式，其中若为偶数，则必须满足．最简二次根式满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式．经典例题例题1答案A.个B.个C.个D.个①；②；③；④；⑤；...
第14讲相似初步一、相似的定义和判定知识导航相似的基本概念1．相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，叫做相似多边形2．相似多边形对应边的比叫做相似比3．相似三角形：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形记为，“∽”读作“相似于”若，则（为相似比）相似的判定定理⑴有两个角对应相等的两个三角形相似⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似⑶三边对应成比例的两个三角形相似由⑴得到：...
第13讲比例线段一、成比例线段知识导航定义示例剖析两条线段的比选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比成比例线段如果线段和的比等于线段和的比，那么线段，，，叫做成比例线段，记作或注：成比例线段是有顺序性的基本性质：注：若，则称是，的比例中项．合分比性质：①②等比性质：（其中为正整数，且）①②，当时黄金分割点⑴如图，点把线段分成两条线段和（）．若，则称线段被点黄金分割，点叫做线...
第10讲四边形综合一、四边形之多结论探究知识导航对于四边形综合中的多结论问题，一般采取先易后难、相关推导的原则，在已知结论的基础上推导确认剩余结论的准确性，有时候也要用到“假定反推”的方法，即假定结论是正确的，来寻找条件中的矛盾。经典例题例题1答案解析A.①②③④B.①②C.①③D.①②④已知如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④...
第8讲中点辅助线一、斜边中线和倍长（类）中线知识导航中点辅助线添加一般倍长中线中位线特殊等腰三角形：三线合一直角三角形：斜边中线等于斜边一半倍长(类)中线方法延长过中点的线，使得延长后的线段与原有线段相等目的构造一对对顶的全等三角形与一组平行线示例如图，其中，延长至，使得，则≌，如图，其中，延长至，使得，则≌，应用①转移边，②构造平行，转移角斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半若为斜...
第7讲期中复习一、一元一次不等式（组）例题1答案解析标注方程与不等式>不等式（组）>一元一次不等式组>题型：一元一次不等式组的整数解求不等式组的整数解．，．①②由①得由②得．∴此不等式组的解集为．∴此不等式组的整数解为，．例题2答案解析标注方程与不等式>不等式（组）>含参不等式>题型：由不等式（组）的解集求参数的范围不等式的解集是则的取值范围．由题意可知，即，故的取值范围为．例题3答案解析标注方程与不等...
第6讲平行四边形探究本讲目标：一般的平四证明题和多结论判断，一半的中位线及中位线的构造例题设置：1.例1熟悉性质和判定，例2多结论判断，例3证明过程2.例4简单图形中位线，例5复杂图形中位线，例6中位线构造及逆定理，例7有引导性的中位线构造证明题一、平行四边形的性质和判定知识导航定义示例剖析平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形四边形叫做平行四边形平行四边形的表示一般按一定的方向依次表示各顶点.如...
第5讲分式方程本讲目标：解分式方程，增根、无解、解的正负求参数，例题设置：1.例1定义，例2解分式方程，例3技巧方程2.例4增根，例5无解，例6正负性一、分式方程的概念及解法知识导航概念分母中含有未知数的方程核心化分式方程为整式方程步骤示例①因式分解：分母中能因式分解的先分解②去分母：化分式方程为整式方程，即在方程的两边同时乘以最简公分母③解整式方程解法④验根：将整式方程的根代入最简公分母中，检验是否为0...
第2讲旋转的构造本讲目标：1.认识作旋转的前提，2.掌握费马点例题设置：本讲内容分为两个模块，分别为“等腰+1点P”和“费马点”。①3道例题，其中例1模型练习，加深理解，例2图形变化，从相等能想到旋转，例3引导综合，理解旋转其实就是反向的手拉手（构造）②2道例题，例4是费马点的练习基本的“手连心模型”题目的训练，例5是“图形变化后识别费马点及反向应用一、等腰+“一点P”知识导航等腰+“一点”目的转移边或转移角条...
第1讲.有理数的基本概念一、正负数知识引入①观察一下电梯里有什么数跟我们以前学的有什么不同？②不同在哪里？③生活中还有哪些地方出现了类似的数？大家想一想生活中还有哪些地方会出现正负数？天气预报中的温度潜水艇所在的高度面粉的重量知识导航定义示例剖析正数：像、、这样大于0的数叫做正数．负数：像、、、这样在正数前面加上负号“”的数叫做负数．一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．注：正数前面的“”可以省略...
