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(34)--010801函数连续的定义高等数学
010801函数连续的定义高等数学气温的变化、河水的流动、植物的生长等许多例如，当时间变动很微小时，自然现象都是连续变化的。气温的变化也很微小，这种现象在函数关系上的反映，就是连续。010801函数连续的定义引入1.增量设函数()yfx在点的某个邻域内有定义，0x当自变量在该点邻域内从变到时，x0xx0+x函数值或因变量相应从变到，()fx(0fx)(0+)fxx此时00(+)yfxxfx称为函数的增量,x注增量可正可负.010801函...
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(19)--010202--利用定义证明数列极限
010202利用定义证明数列极限高等数学上一节课学习了数列极限的定义，limnnxa0nNN.nxa，，当时，有010202利用定义证明数列极限强调（1）的任意给定性；（2）的存在性、不唯一性.N证明证例1取,=11N则当nN时，就有11lim1.nnnn0,(1)1111nnnxnn要使，(1)11.nnn只须1.n故(1)1lim1.nnnnlimnnxa0nN...
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(18)--010201--数列极限的定义改
010201数列极限的定义高等数学内接正六边形的面积R内接正十二边形的面积内接正边形的面积一、极限思想的萌芽——刘徽的割圆术内接正二十四边形的面积1A2A3A62n1nA123nAAAA，，，，，S010201数列极限的定义三国时期魏国人，是中国古代杰出的数学家。他在推算圆的面积时提出了割圆术。他说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．这应该是早期极限思想的萌芽。刘徽（约公元225-295年）010201数...
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(6.7)--4.2.3微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics第二类换元积分法问题引入第一类换元积分法核心思想是凑微分不能凑的怎么办？xdxsin第二类换元积分法定理2设x=(t)是单调的、可导的函数，并且(t)0.又设f[(t)](t)具有原函数，则有换元公式.[()](d)d)(()1txtttfxxf又名：去根号法第二类换元积分法例1解.d11xx分析：tx令2txtttd12Ctt2ln12tttx2ddd2tttd1112t)dt11...
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(6.6)--4.2.2微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics第一类换元积分法有些被积函数中含有三角函数，因而在积分运算中会用到一些三角公式.1cossin22xx常用的三角公式xx22sec1tanxxxcos2sinsin2xxx22sincoscos212cos2x12sin2x第一类换元积分法例1解tand.xxxxxdcossinxxdcoscos1xCcosln例2sin3d.xx解xxxdsinsin2xdcosx)cos1(2Cxx3cos31cos第一类换元积分法例3解cos2d.xx分析：xdx...
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(6.5)--4.2.1微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics第一类换元积分法问题引入一个求导公式对应一个积分公式复合函数的求导法则，有相对应的积分法则吗？第一类换元积分法定理1设函数f(u)具有原函数，u=(x)，则有换元公式.()d)d()]([(x)uufuxxxf证明设F(u)是f(u)的原函数，则有()()fuFu或.()()dCFuufu根据复合函数求导法则，有)((()))d(()CxFuufxu.)((())()(())xxfxxF...
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(6.4)--4.1.2微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics不定积分的性质问题：复杂的函数如何积分)1d.(23xxxtan2d.xx不定积分的性质不定积分的性质性质1设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则.d)(d)(()]d[()gxxfxxxgxfx性质2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则.d)(d)(fxxkkfxx不定积分的性质例1.d)7(3xxx解xxx)d7(2127xxxd)7(3xxxxd7d2127Cxx232931492例2)1d.(22xxx解xxx)1d(22xxx...
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(6.3)--4.1.1微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics不定积分的概念一、原函数二、不定积分三、基本积分公式表不定积分的概念求导运算的逆运算问题已知函数f(x)求导运算f(x)已知导数f(x)如何运算f(x)不定积分的概念一、原函数及其存在定理定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)即对任一xI，都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数.不定积分的概念例如，,5)(45xx所以x5是5x4的一个原函数,cos,(sin...
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(6.2)--4.4微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics有理函数积分法有理函数的定义定义函数0)()(())(00110110abbbxxbaaxxaxQPxxRmmmnnn称为有理函数，当n<m时，称为真分式，当nm时，称为假分式.有理函数积分法假分式一定可以化成一个多项式与一个真分式之和.8,2735223423xxxxxx,132224xxx真分式假分式.141213222224xxxxx有理函数积分法真分式的分解式对于真分式),(()xQPx如果分母可分解...
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(6.1)--4.3微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics分部积分法一个求导公式对应于一个积分公式复合函数的求导法则换元积分法两个函数乘积的求导法则分部积分法直接积分法分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，(uv)=uv+uv,uv=(uv)–uv,移项两边积分d,duvxuvvxud.dvuuvuv分部积分公式分部积分法应用分部积分法时，恰当选取u和dv是一个关键，选取u和dv一般要考虑下面两点：(1)v要容易求得；(2)vdu要比vud容...
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(4.8)--5.4.2微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics分部积分法无穷限的反常积分第一类反常积分无界函数的反常积分第二类反常积分无界函数的反常积分如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点(也称无界间断点).无界函数的反常积分又称为瑕积分.无界函数的反常积分定义2设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点.取t>a，如果极限btatxxf)d(lim存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作,()dbaxxf即()d....
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(4.7)--5.4.1微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics无穷限的反常积分1xyy=1/xO图中阴影部分的面积如何计算？xyabOy=f(x)无穷限的反常积分定义1设函数f(x)在区间[a,+)上连续，取t>a,如果极限tatxfx()dlim存在，在无穷区间[a,+)上的反常积分，记作()d,axxf即()d.()dlimtataxfxxxf此时也称反常积分收敛，如果极限不存在，则称发散.则称此极限为函数f(x)无穷限的反常积分类似地可定义：()d.()dlimbttb...
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(4.6)--5.3.2微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics定积分的分部积分法不定积分的分部积分法vuuvuvdd定积分的分部积分法vuuvvubababadd定积分的分部积分法例1计算d.e01xxx解1010deedxxxxx10ed0e1xxxx10e10e1xxx例2计算d.cos0xxx解00dsincosdxxxxx0sind0sinxxxx0cos0sinxxx2定积分的分部积分法解例3计算d.2arcsin10xx2arcsinxdx10xxxxxd1arcsin2102210...
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(4.5)--5.3.1微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics定积分的换元积分法定理假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=(t)满足条件：(1)()=a,()=b;(2)(t)在[,]上具有连续导数，且其值域R=[a,b]，则有()d.[()]()dtttfxxfba换元公式定积分的换元积分法证明假设F(x)是f(x)的一个原函数，则.)(()()dFaFbxxfba另一方面，记(t)=F[(t)]，则,)[()](()ttfΦt于是()()()d[()]ΦΦtttf[(...
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(4.4)--5.2.2微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics牛顿——莱布尼茨公式定理3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则().()()dFaFbxxfba牛顿—莱布尼茨公式牛顿—莱布尼茨公式也称微积分基本公式.牛顿——莱布尼茨公式证明由定理1知xatftΦx()d)(也是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，从而有.)(()()bxaCΦxFx在上式中令x=a，得C=F(a)，于是上式变为,)(()()dFaFxttfxa.)(()()dFaFbttfba牛顿——莱布尼...
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(4.3)--5.2.1微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics积分上限的函数一、积分上限的函数定义二、积分上限的函数导数积分上限的函数axbxyy=f(x)(x)O1.定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，x[a,b],则定积分xatft()d是积分上限x的函数，称之为积分上限的函数，).((d)()axbfttxΦxa记作(x)：积分上限的函数axbxyy=f(x)(x)O2.积分上限的函数的导数定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数xatftΦx()d)(在[a,b]上可导，并...
2024-04-190163.71 KB0
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(4.2)--5.1.2微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics定积分的性质补充规定：(1)当a=b时，0;()dbaxxf(2)当a>b时，()d.()dabbaxfxxfx定积分的性质性质1()d.()d()]d()[bababagxxfxxxgxfx性质2设a<c<b，则()d.d)(d)(bccabafxxfxxxxf这个性质说明，定积分对区间具有可加性.事实上不论a,b,c的位置关系如何结论都成立.定积分的性质性质3.1dbaxba性质4如果在区间[a,b]上，f(x)0，则.)0(()dbaxxfba推...
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(4.1)--5.1.1微分的定义高等数学
高等数学AdvancedMathematics定积分的概念一、曲边梯形的面积二、定积分定义三、定积分的几何意义定积分的概念1.曲边梯形的面积我们已经会求规则平面图形的面积，如矩形平行四边形三角形定积分的概念那么如何求不规则平面图形的面积呢？定积分的概念设y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.xyaby=f(x)=x+2sinxO定积分的概念求解思路：将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每...
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(3.13)--2.5.1微分的定义高等数学
微分的定义微分的定义微分的定义一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由问此薄片的面积改变了多少？面积的改变量0x变到,0xxA2200()xxx220()xxx0x2S0x0xxx(x2)0xx0xx设此薄片的边长为，面积为,x则2Ax一、引例A关于x的线性函数关于x的高阶无穷小微分的定义二、定义定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+x在这区间内，如果函数的增量y=f(x0+x)–f(x0)可表示为y=Ax+o...
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(3.8)--2.3.1高阶导数的定义
高阶导数的定义高阶导数的定义高阶导数的定义[复习回顾]引例1直线运动的速度000()lim())(0ttststtvtt瞬时速度s(0t)v(t)(t)s加速度a(t)v(t)[(])sts(t)高阶导数的定义定义函数y=f(x)的导数仍是x的函数，一阶导数一般地，n–1阶导数的导数叫做n阶导数，的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数叫做三阶导数，(n)y二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.n阶导数记为或.ddnnxy二阶和三阶导数也可记为y,y....
2024-04-190370.57 KB0
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