3.7函数的最大值最小值与最优化问题3.7函数的最大值最小值与最优化问题3.7.1函数的最大值最小值3.7.2最优化问题3.7.1函数的最大值最小值若在内取得，则最值点一定也是极值点，从而最值可能在驻点或导数不存在的点取得．(,)ab假定函数在闭区间上连续，由闭区间上连续函数的性质，可知在上一定存在最大值和最小值．[,]ab()fx()fx[,]ab其最大值和最小值可能在区间端点处取得，也可能在开区间内取得．(,)ab（4）比较（3）中各值的大...
§5.4δ函数及其Fourier变换一、物理背景1、物理上有很多的理想模型，如质点、点电荷、点光源等，完全有必要引入一种数学符号来描述这些点源的密度分布；2、1947年，英国理论物理学家P.A.M.Dirac在他的著作《PrincipleofQuantumMechanics》中正式引入并称它为“奇异函数”()x或“广义函数”，原因有二：u它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是收敛到无...
3.4函数的单调性与极值3.4函数的单调性与极值3.4.1函数单调性的判别法3.4.2函数的极值及其判别法我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的极值以及函数的最大和最小值。但是这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊技巧，因而不具有一般性。本节将以导数为工具，介绍解决上述几个问题的既简便又具有一般性的方法。3.4.1函数单调性的判别法设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，如果在上单调增...
第五章傅里叶级数和傅里叶变换FourierSeriesandTransformsn中心内容：傅里叶变换的性质和应用n学习目的Ø掌握任意函数在完备正交函数系中展开的一般理论和方法Ø掌握非周期函数傅里叶变换的定义、存在条件及函数正反变换的求法Ø重点掌握并会应用傅里叶变换的主要性质，能够用傅里叶变换求解无界域中偏微分方程的定解问题Ø掌握δ函数的定义和主要性质Ø掌握周期函数傅里叶展开的方法和存在条件§5.0任意函数在完备正交函数系中...
1.8函数的连续性1.8闭区间上连续函数的性质函数的连续性•什么是函数的连续性呢？那么自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性。例如就气温的变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小。这种特点就是函数的连续性。所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。•我们说函数在点连续等价于在点既...
格林函数的引出其中格林函数，且满足Laplace方程第一边值问题0()()GuMfMdSnΓ∂=−∂∫∫()0,uinufΓ∇⋅∇=Ω⎧⎪⎨=⎪⎩的解可表示为020,in.14MMvvπrΓΓ⎧∇=Ω⎪⎪⎨=⎪⎪⎩001(,)4MMGMMv=πr−v格林函数的物理意义M0M1Γ内与对称点处两个点电荷所形成电场在内的电位就是MMMMrqrMMG10441),(0ππ−=格林函数。Ω电象法求解格林函数。格林函数的电象法格林函数步骤：M0M014rMMπM1qM14MMqπr−MΓM01144MMMMqrrππΓΓ=Ø...
球域上的格林函数设球心在原点，半径为的球。在放一单位正电荷，为求格林函数222222222222220,R(,)xyzRuuuxyzxyzufxy++=⎧∂∂∂++=++≤⎪∂∂∂⎨⎪=⎩0M1MM1q0M01MpRRØ找出关于圆周的对称点，的坐标？Ø在放的负电荷，为多少？0MqM1对称点0OMM0M1OM01MpR连接并延长至，使得1M1OM210RrrOMOM=⋅点称为关于圆周的反演点记，则0101OM,OMrrρρ==201ρ=Rρ在放多少负电荷，使得点和点在球面上产生的电位为0？M1M01M问题：1点放置...
格林函数的引出其中格林函数，且满足Laplace方程第一边值问题0()()GuMfMdSnΓ∂=−∂∫∫()0,uinufΓ∇⋅∇=Ω⎧⎪⎨=⎪⎩的解可表示为020,in.14MMvvπrΓΓ⎧∇=Ω⎪⎪⎨=⎪⎪⎩001(,)4MMGMMv=πr−v格林函数的引出Ø只要求出了格林函数，解就能以积分形式给出Ø任意区域的格林函数不容易求解Ø特殊的区域的格林函数可以用电象法求得(0),GMM电象法格林函数ΩM0ΓM1在区域外找出关于边界的象点，要求：0101(,)44MMMMqGMMrrππ=...
格林函数的引出Ø公式中既包含了又包含了()01114uuMudSnrrnπΓ⎛∂∂⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∫∫Laplace方程调和函数的积分表达式不能直接给出边值问题的解，因为uΓunΓ∂∂uΓunΓ∂∂unΓ∂∂uΓØ第一边值问题只给出，未知Ø第二边值问题只给出，未知第一边值问题第一边值问题已知，必须消去22()()vvvnuuudVuvdSnΩΓ∂∂−∇=−∂∇∂∫∫∫∫∫方法：在第二格林公式中，,uv取为内的调和函数，在边界上有连续的...
调和函数前面介绍了拉普拉斯方程和格林公式，下面我们建立Laplace方程的通解。满足拉普拉斯方程的具有二阶连续偏导数的函数称为调和函数。2222220uuuuxyz∂∂∂Δ=++=∂∂∂下面应用第二格林公式推导调和函数的表达式。()vudVuvdSnuvvunΩΓ∂∂⎛⎞=−⎜⎟∂∂Δ−Δ⎝⎠∫∫∫∫∫“第二格林公式定理设有界区域的边界曲面足够光滑，如果在上有一阶连续偏导数，在内调和，则在内任一点uΩΓΩ+ΓΩ()()0001114MMMMuuMuMdsnrrn...
1.3极限的运算一、极限的四则运算二、两个重要极限三、无穷小的比较一、极限的四则运算法则,(),lim()lim00BgxAxfxxxx则有定理1若证明因则有BgxAfx(),()(其中,为无穷小),(),lim()lim00BgxAxfxxxx1.四则运算法则于是)()(()()BAgxfx)()(BA由于也是无穷小,利用极限与无穷小的关系：.())(()lim0BAgxxfxx其他情况类似证明.说明:(1)定理1可推广到有限个函数...
展开公式结论：设函数𝑓(𝑥)满足2.6节所述按特征函数展开的条件,则𝑓(𝑥)可以表示为：其中：AfxPxdxnnn2.22111fxAPxxnnn,11101°𝑓(𝑥)在−1,1上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数;2°𝑓(𝑥)满足所有𝑃𝑛(𝑥)(𝑛=0,1,2,⋯)所满足的边界条件.展开原理APxdxnn()121fxPxdxAPxPxdxmnmmn()()()()01111fxAPxnnn10证明：在(1)式的两...
首页上一页下一页结束《微积分》(第四版)教学课件初等函数一、基本初等函数二、初等函数亲爱的同学们，大家好！本节介绍一下基本初等函数与初等函数，这将是微积分中的常见的函数类型。先来介绍基本初等函数。首页上一页下一页结束《微积分》(第四版)教学课件一、基本初等函数基本初等函数通常包含以下六类，常值函数yc幂函数yxa(a为任何实数)指数函数yax(a0a1)对数函数ylogax(a0a1)三角函...
展开公式结论：因为函数系是完备正交的，由第二章可知，任意在[0,𝑅]上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数𝑓(𝑟),只要它也满足特征函数中每个函数所满足的边界条件（它在𝑟=0有界，在𝑟=𝑅等于0），则它必能展开成如下的绝对且一致收敛的级数：RJrnmn{()}()RfrAJrmmnmn()(),1()1()nmRJRArfrJrdrnmnmRn2()().12()02()其中：展开原理RArJrdrAJRknknkknRn2()()0122()2()...
贝塞尔函数的正交性定理：𝑛阶贝塞尔函数系在区间上[0,𝑅]是带权正交的，且{()}(1,2,)RJrmnmn()JJmkRRRRrJrJrrmknmnmnnnnmkRnn22()(),.()()d,0,1102()2()22()()将贝塞尔方程rPrrPrrnPr()()()()0,222证明：贝塞尔函数的正交性drdrrrrPddPn()()0.2改写成如下形式1,2记，其中为任意参变量。FrJrFrJrnn()(),()()1122由于当时，是贝塞尔方程的解，iJ...
𝚪𝜶函数的定义、性质2、性质：1)在定义域上(0,+∞)连续且可导；1、定义：称以𝛼为参量的反常积分为𝛼的Γ函数。xedxx()(>0)01=+1)=(()2)递推式：.xedxxedxxexxx().(1)0001=证明：性质注释注：n!nnnnnn(1)()(1)(-1)当𝛼=𝑛∈𝑁，==0().(1)(1)xnlimlimn->eexxxxxn01）2）当𝛼=1，...
实际问题建模问题：设有半径为1的均匀薄圆盘，边界上温度为零，初始时刻圆盘内温度分布为1−𝑟2,其中𝑟是圆盘内任一点到圆心的距离，求圆内温度分布规律。解：上述问题可归结为求解下列定解问题：urxyutxytaxytuuutr1,1.0,0,(),1,0,022212222222此外,由物理意义知，还有条件𝑢<+∞,且当𝑡→+∞时，𝑢→0.实际问题建模由于是在圆域内求解问题，故采用极坐标系较为方便，并...
贝塞尔方程的递推式引入：不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反应这种联系的递推公式。先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。mnmJxxmnmnmnm2!(1)()(1)022！！mmmJxxxmmmmmmmm2(1)2()()(1)(1)00222022！！mmmmJxxxmmmmmmmm2(2)2(1)!()(1)(1)00212112121！mmxmmmm2(1)!=(1)12121！...
问题引入：2220,0.xybunuuxyaxybxya12(),,22222222研究问题：在环形域axybab(0)22内求解定解问题xcos,ysin.解：因解域为环形区域，故可选平面极坐标系，利用平面极坐标和直角坐标xy的关系(,)(,)坐标系转换：uuabuuba0,0,02.()12cos2,,02,112222则上问题可表示为y...
问题引入：研究问题：带有热源项的热传导问题：uxxluuttxafxtxltuutxxl(),0.(1)0,0,(,),0,0,00222数学角度：分离变量法成功的关键是方程和边界条件都是齐次的。若方程非齐次，边界条件为齐次的，能否运用分离变量法？若能，如何求解？物理角度：热传导的扩散过程是由两部分引起的。一是热源项，一是初始状态。因此热传导可以看作为仅由热源引起的热扩散和仅由初始状态引起的热扩散。启发...
