无穷级数经济数学——微积分“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长之和为：2311112222nnS此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个数相加的式子，这就是级数。引例.计算棒长nnS显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值愈接近于1；当时，的极限为1。常数项级数的概念经济数学——微积分1、常数项级数的概念1.定义无穷级数一般项:数列.1nun记为简称（常数项...
格林函数的引出其中格林函数，且满足Laplace方程第一边值问题0()()GuMfMdSnΓ∂=−∂∫∫()0,uinufΓ∇⋅∇=Ω⎧⎪⎨=⎪⎩的解可表示为020,in.14MMvvπrΓΓ⎧∇=Ω⎪⎪⎨=⎪⎪⎩001(,)4MMGMMv=πr−v格林函数的引出Ø只要求出了格林函数，解就能以积分形式给出Ø任意区域的格林函数不容易求解Ø特殊的区域的格林函数可以用电象法求得(0),GMM电象法格林函数ΩM0ΓM1在区域外找出关于边界的象点，要求：0101(,)44MMMMqGMMrrππ=...
[GeneralInformation]书名=空间解析几何与微分几何作者=黄宣国编著页数=423SS号=11135952出版日期=2003年09月第1版前言目录目录第一部分空间解析几何第1章向量§1.1基本要求与主要内容§1.2基本题型§1.3深入思考第2章平面与直线§2.1基本要求与主要内容§2.2基本题型§2.3深入思考第3章二次曲面§3.1基本要求与主要内容§3.2基本题型§3.3深入思考第4章等距变换、正交变换与仿射变换§4.1基本要求与主要内容§4.2基本题型§4.3...
第一节微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念一、引例一、引例一、引例一、引例二、基本概念二、基本概念二、基本概念二、基本概念第一节微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念一、引例一、引例引例引例11一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点处的设所求曲线方程为y=y(x),则有2,ddxxy①(C为任意常数)，由②得C=1,yx21.因此所求曲线方程为12.yx②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.解解第一节微分方程的...
1.商空间2.粘合法的抽象3.利用商空间制作更多的拓扑空间主要内容1商空间PARTONE量子力学商空间商集：一个集合X,如果有等价关系~，相应的等价类的集合记作，称为关于~的商集.，其中所以等价类构成的集合“~”是上的一个等价关系。粘合映射：注：凡是与等价的都映在一起。量子力学商空间商拓扑：设一个拓扑空间，“~”是集合上的一个等价关系，规定的子集族是中的开集}则是上的一个拓扑，称在“~”下的商拓扑。商空间：称...
全增量的概念如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，并设P(x0+x△,y0+y△)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)为函数在点P0(x0,y0)对应于自变量增量△x,y△的全增量，记为△z即△z=f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)一、全微分定义如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的全增量△z=f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)可以表示为△z=Ax△+By△+o(ρ)))()((22yxByAxzxy),(00d其中A,B与...
©Copyright微分几何第一章预备知识§1.1.2三维欧氏空间中的标架一、导入标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁！oyxa半径为a的圆取定坐标系𝑥2+𝑦2=𝑎2(一）标架1.仿射标架：共始点𝑶的三个不共面向量𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶构成的图形二、标架与正交标架集合.;,,OOAOBOCP3OP2P1APBC(一）标架二、标架与正交标架集合2.标架的定向：3维：右手系、左手系；高维：行列式的正负.3.正交标架：单位、正交构成右手系的标架;,,Oi...
1.同胚空间赏析2.嵌入映射3.局部同胚映射拓扑学的柔美：同胚空间赏析1同胚空间赏析PARTONE量子力学圆周与正方形同胚例1考虑圆周和正方形.定义中心投影（centralprojection），这显然是一个双射.利用,不难验证和都是连续映射，因此是同胚.量子力学局部与整体同胚例2，利用语言不难验证，是同胚，它的图像见右图.这个结论还可以轻松地推广到高维情形：令则，并且映射就是同胚（这里表示维向量的长度）.量子力学球体内部与欧氏...
1.子空间中的开集和闭集2.子空间中的开集和闭集的性质2.4.4子空间的开集和闭集1子空间中的开集和闭集PARTONE量子力学子空间中开集和闭集的性质子空间:拓扑空间(X,）的{U∩A|U∈}，称是子拓扑空间.子空间中闭集的性质:设是拓扑空间，，则是的闭集⇔是与的一个闭集的交集.量子力学子空间中开集和闭集的性质证明:是中的闭集⇔是开集.⇔存在中的开集，使得.⇔存在中的开集，使得.⇔是中一个闭集与的交集.2子空间中开集和闭集...
1.拓扑空间举例2.学习误区提醒主要内容3.思考题目1拓扑空间举例PARTONE余有限拓扑例1.余有限拓扑：设是一个无穷集合，是的有限子集称是的余有限拓扑空间.{|cfAA}{}证明：(1)由定义，,因为，而是的有限子集，所以全集也在里面.fcXcX（2）如果是中的任意多个成员，只需证明因为其中是的有限集，因任意多个有限子集的交集仍为有限集，所以条件(2)成立.{c}A.cfA()()ccccAAA...
1.子拓扑与子拓扑空间2.子拓扑空间举例3.开集的相对性主要内容1子拓扑与子拓扑空间PARTONE子拓扑：设是一个拓扑空间，是的一个子集，称的子集族是上的一个子拓扑.子拓扑空间：称是拓扑空间的一个子拓扑空间,简称子空间.(,)X{|}AUAU(,AA)(,)X2子拓扑空间举例PARTTWO子拓扑的例子：为欧氏拓扑空间，二维球面定义为集合那么作为的子集，具有子拓扑结构，是一个拓扑空间；同理作为的子集，具有子拓扑结构，是...
一、偏导数设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，函数有相应的增量（称为对x的偏增量），记为△xz，如果xyfxxyxfxzxxx),(),(limlim000000定义存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数，记为1、偏导数的概念,0y0yxxxz,0y0yxxxf00,xxzxyy00(,)xfxy同理，可以定义函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数，记为,0y0yyxxz,0y0yyxxf...
1.道路2.道路连通空间3.6.1道路与道路连通空间1道路PARTONE量子力学道路道路:设是拓扑空间，从单位闭区间到的一个连续映射称为上的一条道路.为起点，终点，统称为端点.注：(1)道路指的是映射本身，而不是像集，像集是曲线.(2)有许多不同的道路，但像集是一样的.量子力学道路新道路的一种构造方法：若是拓扑空间中一条道路,是连续映射，则是Y中一条道路.点道路：是常值映射，即是一点.闭路：起点和终点重合的道路.量...
1.紧致空间与紧致子集2.紧致性的判别3.紧致性是拓扑性质主要内容1紧致空间与紧致子集PARTONE量子力学紧致空间：设是一个拓扑空间，如果的任何开覆盖都有有限子覆盖，那么就称是一个紧致空间.紧致子集：设是拓扑空间的一个非空子集，若作为的子空间是紧致的，则称是的紧致子集.例1：是的紧致子集.(,)XXXXXAXAX0,1R2紧致性的判别PARTTWO命题2.14:紧致子集的判别条件：是的紧致子集在中的任一开覆盖都有有限子覆盖....
完全正则空间拓扑学定义.空间称为完全正则的,如果每一个单点集是闭集,并且对于中的每一个点和不包含的任何一个闭集,存在一个连续函数,使得和.完全正则空间注.根据Urysohn引理,每一个正规空间都是完全正则的.完全正则空间一定是正则的.这是因为,给定这样的以后,集合和是分别包含和的无交的开集.定理1.完全正则空间的子空间是完全正则的.完全正则空间的有限积空间是完全正则的.完全正则空间证:设是完全正则的,是的一个子空间.设,...
常见的正规空间拓扑学常见的正规空间定理3.每一个有可数基的正则空间都是正规的.证:设是一个有可数基的正则空间,和是的两个不交的闭子集.,存在一个包含的开集与不交.由的正则性,可以选取一个包含的开集,使得.根据基的性质,可以选取中的一个包含着的元素,使得它包含于.通过对中每一点选取基中的这样一个元素,我们就构造了的一个开覆盖.其中的每一个开集的闭包都与不交.记为.类似地,可以选取的一个可数开覆盖,使得每一个的闭包都...
常见的正规空间拓扑学定理1.每一个可度量化的空间都是正规的.常见的正规空间证:设是一个度量空间,以为度量,和是中两个无交闭集.对于中的任意一个点,选取使得与无交.类似地,对于中的任意一个点,选取使得与无交.定义那么和就是分别包含和的开集.我们断言:他们是无交的.因为若,则存在和,使得.根据三角不等式有.这意味着或者,但这两种情形都是不可能的.■定理2.每一个紧致的Hausdorff空间都是正规的.证:设是一个紧致的Hausdorff空间...
正则空间与正规空间拓扑学定义.设中的每一个单点集在中都是闭的.如果对于任意给定的一个点和不包含这个点的一个闭集,存在无交的两个开集分别包含和,则称为正则的.如果对于中每一对无交的闭集和,总存在无交的开集分别包含,则称为正规的.正则空间与正规空间注.正则空间是Hausdorff的.正规空间是正则的.引理1.设是一个拓扑空间,中的单点集是闭集.则(1)是正则的当且仅当对于任意给定的和包含的任何一个开集,存在一个包含的开集,使得...
实直线上的紧致子空间拓扑学实直线上的紧致子空间CONTENT极值定理实直线上的紧致子空间定理2:中一个子集是紧致的,当且仅当它是闭的并且就欧氏度量或平方度量而言是有界的.证:只要考虑度量就可以了,因为不等式保证了在下有界当且仅当它在下有界.假设是紧致的.由于是Hausdorff空间,所以是闭集.考虑开集族,其并为.于是有一个有限子族覆盖.从而对于某一个有.于是对于中任意两点和,有,因此对于而言有界.反之,假设是闭集并且关于是有...
实直线上的紧致子空间拓扑学实直线上的紧致子空间CONTENT极值定理实直线上的紧致子空间定理1:中任何一个有界闭区间都是紧致的.证:给定,设是的一个开覆盖.下面证明存在的一个有限子族覆盖.第一步.首先证明:若,则存在,使得区间可由中一个成员覆盖.选取中包含的一个开集,则中包含一个的基元素,选取,则,即可由中一个成员覆盖.第二步.设,则由第一步可见这样的一定存在(取),从而是非空的.令是集合的上确界,则.实直线上的紧致子空间第...
