全增量的概念如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，并设P(x0+x△,y0+y△)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)为函数在点P0(x0,y0)对应于自变量增量△x,y△的全增量，记为△z即△z=f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)一、全微分定义如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的全增量△z=f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)可以表示为△z=Ax△+By△+o(ρ)))()((22yxByAxzxy),(00d其中A,B与...
©Copyright微分几何第一章预备知识§1.1.2三维欧氏空间中的标架一、导入标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁！oyxa半径为a的圆取定坐标系𝑥2+𝑦2=𝑎2(一）标架1.仿射标架：共始点𝑶的三个不共面向量𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶构成的图形二、标架与正交标架集合.;,,OOAOBOCP3OP2P1APBC(一）标架二、标架与正交标架集合2.标架的定向：3维：右手系、左手系；高维：行列式的正负.3.正交标架：单位、正交构成右手系的标架;,,Oi...
1.同胚空间赏析2.嵌入映射3.局部同胚映射拓扑学的柔美：同胚空间赏析1同胚空间赏析PARTONE量子力学圆周与正方形同胚例1考虑圆周和正方形.定义中心投影（centralprojection），这显然是一个双射.利用,不难验证和都是连续映射，因此是同胚.量子力学局部与整体同胚例2，利用语言不难验证，是同胚，它的图像见右图.这个结论还可以轻松地推广到高维情形：令则，并且映射就是同胚（这里表示维向量的长度）.量子力学球体内部与欧氏...
1.子空间中的开集和闭集2.子空间中的开集和闭集的性质2.4.4子空间的开集和闭集1子空间中的开集和闭集PARTONE量子力学子空间中开集和闭集的性质子空间:拓扑空间(X,）的{U∩A|U∈}，称是子拓扑空间.子空间中闭集的性质:设是拓扑空间，，则是的闭集⇔是与的一个闭集的交集.量子力学子空间中开集和闭集的性质证明:是中的闭集⇔是开集.⇔存在中的开集，使得.⇔存在中的开集，使得.⇔是中一个闭集与的交集.2子空间中开集和闭集...
1.拓扑空间举例2.学习误区提醒主要内容3.思考题目1拓扑空间举例PARTONE余有限拓扑例1.余有限拓扑：设是一个无穷集合，是的有限子集称是的余有限拓扑空间.{|cfAA}{}证明：(1)由定义，,因为，而是的有限子集，所以全集也在里面.fcXcX（2）如果是中的任意多个成员，只需证明因为其中是的有限集，因任意多个有限子集的交集仍为有限集，所以条件(2)成立.{c}A.cfA()()ccccAAA...
1.子拓扑与子拓扑空间2.子拓扑空间举例3.开集的相对性主要内容1子拓扑与子拓扑空间PARTONE子拓扑：设是一个拓扑空间，是的一个子集，称的子集族是上的一个子拓扑.子拓扑空间：称是拓扑空间的一个子拓扑空间,简称子空间.(,)X{|}AUAU(,AA)(,)X2子拓扑空间举例PARTTWO子拓扑的例子：为欧氏拓扑空间，二维球面定义为集合那么作为的子集，具有子拓扑结构，是一个拓扑空间；同理作为的子集，具有子拓扑结构，是...
一、偏导数设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，函数有相应的增量（称为对x的偏增量），记为△xz，如果xyfxxyxfxzxxx),(),(limlim000000定义存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数，记为1、偏导数的概念,0y0yxxxz,0y0yxxxf00,xxzxyy00(,)xfxy同理，可以定义函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数，记为,0y0yyxxz,0y0yyxxf...
1.道路2.道路连通空间3.6.1道路与道路连通空间1道路PARTONE量子力学道路道路:设是拓扑空间，从单位闭区间到的一个连续映射称为上的一条道路.为起点，终点，统称为端点.注：(1)道路指的是映射本身，而不是像集，像集是曲线.(2)有许多不同的道路，但像集是一样的.量子力学道路新道路的一种构造方法：若是拓扑空间中一条道路,是连续映射，则是Y中一条道路.点道路：是常值映射，即是一点.闭路：起点和终点重合的道路.量...
1.紧致空间与紧致子集2.紧致性的判别3.紧致性是拓扑性质主要内容1紧致空间与紧致子集PARTONE量子力学紧致空间：设是一个拓扑空间，如果的任何开覆盖都有有限子覆盖，那么就称是一个紧致空间.紧致子集：设是拓扑空间的一个非空子集，若作为的子空间是紧致的，则称是的紧致子集.例1：是的紧致子集.(,)XXXXXAXAX0,1R2紧致性的判别PARTTWO命题2.14:紧致子集的判别条件：是的紧致子集在中的任一开覆盖都有有限子覆盖....
完全正则空间拓扑学定义.空间称为完全正则的,如果每一个单点集是闭集,并且对于中的每一个点和不包含的任何一个闭集,存在一个连续函数,使得和.完全正则空间注.根据Urysohn引理,每一个正规空间都是完全正则的.完全正则空间一定是正则的.这是因为,给定这样的以后,集合和是分别包含和的无交的开集.定理1.完全正则空间的子空间是完全正则的.完全正则空间的有限积空间是完全正则的.完全正则空间证:设是完全正则的,是的一个子空间.设,...
常见的正规空间拓扑学常见的正规空间定理3.每一个有可数基的正则空间都是正规的.证:设是一个有可数基的正则空间,和是的两个不交的闭子集.,存在一个包含的开集与不交.由的正则性,可以选取一个包含的开集,使得.根据基的性质,可以选取中的一个包含着的元素,使得它包含于.通过对中每一点选取基中的这样一个元素,我们就构造了的一个开覆盖.其中的每一个开集的闭包都与不交.记为.类似地,可以选取的一个可数开覆盖,使得每一个的闭包都...
常见的正规空间拓扑学定理1.每一个可度量化的空间都是正规的.常见的正规空间证:设是一个度量空间,以为度量,和是中两个无交闭集.对于中的任意一个点,选取使得与无交.类似地,对于中的任意一个点,选取使得与无交.定义那么和就是分别包含和的开集.我们断言:他们是无交的.因为若,则存在和,使得.根据三角不等式有.这意味着或者,但这两种情形都是不可能的.■定理2.每一个紧致的Hausdorff空间都是正规的.证:设是一个紧致的Hausdorff空间...
正则空间与正规空间拓扑学定义.设中的每一个单点集在中都是闭的.如果对于任意给定的一个点和不包含这个点的一个闭集,存在无交的两个开集分别包含和,则称为正则的.如果对于中每一对无交的闭集和,总存在无交的开集分别包含,则称为正规的.正则空间与正规空间注.正则空间是Hausdorff的.正规空间是正则的.引理1.设是一个拓扑空间,中的单点集是闭集.则(1)是正则的当且仅当对于任意给定的和包含的任何一个开集,存在一个包含的开集,使得...
实直线上的紧致子空间拓扑学实直线上的紧致子空间CONTENT极值定理实直线上的紧致子空间定理2:中一个子集是紧致的,当且仅当它是闭的并且就欧氏度量或平方度量而言是有界的.证:只要考虑度量就可以了,因为不等式保证了在下有界当且仅当它在下有界.假设是紧致的.由于是Hausdorff空间,所以是闭集.考虑开集族,其并为.于是有一个有限子族覆盖.从而对于某一个有.于是对于中任意两点和,有,因此对于而言有界.反之,假设是闭集并且关于是有...
实直线上的紧致子空间拓扑学实直线上的紧致子空间CONTENT极值定理实直线上的紧致子空间定理1:中任何一个有界闭区间都是紧致的.证:给定,设是的一个开覆盖.下面证明存在的一个有限子族覆盖.第一步.首先证明:若,则存在,使得区间可由中一个成员覆盖.选取中包含的一个开集,则中包含一个的基元素,选取,则,即可由中一个成员覆盖.第二步.设,则由第一步可见这样的一定存在(取),从而是非空的.令是集合的上确界,则.实直线上的紧致子空间第...
紧致空间拓扑学紧致空间的定义紧致空间的性质CONTENT紧致空间的定义定义:设是空间的一个子集族,如果的成员之并等于,则称覆盖,或者称是的一个覆盖.如果的每一个成员都是的开子集,则称它为的一个开覆盖.定义:若的任何一个开覆盖,包含着一个覆盖的有限子族,则称空间是紧致的.例1:实直线不是紧致的,因为由开区间所组成的的覆盖并不包含覆盖的任何有限子族.例2:的子空间是紧致的.例3:区间不是紧致的.开覆盖就不包含覆盖的有限子族.紧...
道路连通空间拓扑学定义.设与为空间中的两点,中从到的一条道路是指从实直线的某一个闭区间到的一个连续映射,使得和.如果中每一对点都能用中的一条道路连接,则称是道路连通的.定理3.道路连通空间一定是连通的.证.设是道路连通空间,是的一个分割.令为中任意一条道路.由于集合是连通集的连续像,所以它是连通的.于是它必定完全包含于或者包含于中.因此,中便不存在连接中的点与中的点的道路,这与是道路连通的矛盾.■道路连通空间例1....
度量空间拓扑学度量空间的定义欧式度量与平方度量标准有界度量的定义CONTENT前一节已经学习了度量，知道度量必须满足三条性质，接下来我们将用度量来定义度量空间.度量空间的定义欧式度量和平方度量欧式度量和平方度量标准有界度量的定义标准有界度量的定义标准有界度量的定义Thankyouforwatchingandyouropinionisveryvaluable谢谢！
Hausdorff空间拓扑学定义.如果对于拓扑空间中任意两个不同的点和,分别存在和的邻域和使得这两个邻域无交,则称为一个Hausdorff空间.定理1.Hausdorff空间中的任何有限集都是闭集.证:我们只要证明任何一个单点集是闭集即可.设为中异于的一个点,那么和分别有无交的邻域和.于是与无交,就不属于的闭包,因此的闭包就是,所以是闭集.■Hausdorff空间定理2.若是一个Hausdorff空间,则中的一个序列最多收敛到一个点.证:假设中点的序列收敛到...
子空间拓扑拓扑学子空间拓扑的定义容易看出,是集合一个拓扑.(1);(2);(3).设是一个拓扑空间,其拓扑为.若是的一个子集,我们考察集族.子空间拓扑的定义定义.设是一个拓扑空间,其拓扑为.若,则集族是的一个拓扑,称为子空间拓扑.具有这种拓扑的称为的一个子空间,其开集由中的开集与的交组成.例1.设,.若,则并且是的一个拓扑.所以是的一个子空间.子空间拓扑的性质引理1.若是的拓扑的一个基,则集族是上子空间拓扑的一个基.证:给定的一个...
