5.1总体与样本一、总体与个体定义1在一个统计问题中，把所研究的对象全体组成的集合称为总体，而把组成总体的每个元素称为个体．例如，我们要研究某块试验田中小麦的出穗数，这块试验田中的所有小麦就是研究的总体，而其中每株小麦就是个体.又如，研究某高校本科生的身高和体重的分布情况时，该校全体本科生组成了总体，而每个本科生就是个体．在很多情况下，我们关心的只是研究对象的某一项或几项数量指标及该数量指标的分布情...
14.2中心极限定理在自然科学、工程技术和社会经济领域中，我们经常遇到这样一类由许许多多彼此不相干的随机因素共同影响决定的事件，而每个因素对该事件的影响都微乎其微.例如，一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的微小误差的总和，这些微小误差之间是相互独立的.因此，自然要讨论独立随机变量和的分布问题.中心极限定理将告诉我们，独立同分布随机变量和的极限分布是正态分布.为了使问题简单并便于掌握，我们这里只讨论...
14.1大数定律我们知道，概率法则总是在对大量重复的随机现象的考察中才能显现出来.所以，要研究这些大量重复的随机现象，就需要借助极限工具，采用极限形式，建立有关随机变量序列的极限理论.极限理论的内容十分广泛，其中最重要的有两种：大数定律和中心极限定理.大数定律简单地说就是“若干个随机变量算术平均的极限定理”，而中心极限定理则是“关于标准化的随机变量和的极限定理”.由概率的统计定义知道，当试验重复次数n增...
3.8协方差通过多维随机变量的学习，我们用联合分布函数全面描述二维随机变量(,)XY.同样，我们也希望能用某个数量指标反映X与Y之间的相互关系．一、协方差和相关系数的定义由方差性质的证明知道，如果两个随机变量X和Y相互独立，则E{[E()][E()]}0.XXYY反之，当E{[E()][E()]}0XXYY时，X与Y就不相互独立，而是存在着一定的关系．定义1若E{[E()][E()]}XXYY存在，则称之为随机变量X与Y的协方差，记为,)Cov(XY，即Cov...
3.7切比雪夫不等式由前面的介绍可知，许多常见随机变量的分布在分布函数的类型已知时，完全由它的数学期望和方差所决定，可见这两个数字特征的重要性.此外，它们的重要性还在于当分布的函数形式不知道时，也能提供关于分布的某些信息，这从下面著名的切比雪夫不等式可以看到.定理（切比雪夫不等式）设随机变量X具有数学期望E(X)，方差2D(X)，则对给定的正数，有22P(||)X(1)或22P(||)1X...
3.5随机变量的方差在上节例1中，甲、乙两射手的命中环数分布不同，但期望相等，我们认为两射手的射击水平不相上下.那么如何进一步比较呢？从运动员选拔的角度看，应该是发挥稳定的选手更好.因此，我们应该找到一个数量指标来衡量这种稳定性.对一个随机变量X，我们自然地想到用E()XX来描述，但由于绝对值不便于计算，而2[E()]XX仍是一个随机变量，因此采用2E[E()]XX来衡量随机变量X的取值与均值E()X的偏离程度，从而反映随...
3.10矩一、高阶矩把数学期望和方差概念进一步推广，可以得到随机变量更广义的数字特征—高阶矩．定义1设X与Y是随机变量，若E(),1,2,kmkXk存在，则称它为随机变量X的k阶原点矩．若E[E()],1,2,kkcXXk存在，则称它为随机变量X的k阶中心矩．若E(),,1,2,kXYlkl存在，则称它为随机变量X与Y的lk阶混合原点矩．若E[E()][E()],,1,2,klXXYYkl存在，则称它为随机变量X与Y的lk阶混合中心矩．显然X的数学期望E()X是X的...
2.5一维连续型随机变量1.一维连续型随机变量及其分布除了离散型随机变量，还存在着另一类随机变量.这类随机变量可以在某个区间上连续取值，如晶体管的寿命、北京冬季的降雪量、上海高空臭氧的含量、某块土地上棉花纤维的长度或农作物的产量等等，我们称之为连续型随机变量.定义1设()Fx是随机变量X的分布函数，若存在一个非负可积函数f(x)，使得对任意实数x，有xtftFx()d()(1)成立，则称X是连续型随机变量，同时也称f(x)...
2.2一维离散型随机变量实际问题中，通常遇到的随机变量主要有两类：一类是离散型随机变量，如抛掷硬币的正反面、投掷骰子出现的点数、子粒等器官的颜色，麦穗的粒数等.另一类是连续型随机变量，如植株高度、谷穗长度和产量等.我们先介绍离散型随机变量.1.一维离散型随机变量及其分布定义1若随机变量X可能的取值是有限或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量.显然，要了解一个离散型随机变量X的分布规律，只需知道X的所有可能...
2.13.边缘分布1.边缘分布函数分布函数(,)Fxy从整体上描述和刻画了二维随机变量(,)XY，而X、Y作为随机变量，也应具有自己的分布函数.定义1把X、Y的分布函数称为二维随机变量(,)XY分别关于X、Y的边缘分布函数，分别记为FX()x、Y()Fy.由分布函数的定义，不难得到联合分布函数和边缘分布函数的关系：()P()P(,)(,)FXxXxXxYFx，(1)()P()P(,)(,)YFyYyXYyFy.(2)边缘分布函数作为分布函数，仍然...
2.11二维连续型随机变量1.定义对于二维随机变量(,)XY的分布函数(,)Fxy，若存在非负可积函数(,)fxy，使得对于任意实数,xy，有(,)=(,)ddxyFxyfuvuv(1)成立，则称(,)XY为二维连续型随机变量，(,)fxy称为(,)XY的概率密度函数，或称为X、Y的联合概率密度函数.由定义，显然有(,)0,(,)d1.fxydxfxyy(2)(,)XY的联合分布函数为(,)P(,)d(,)d.xyFxyXxYyufuvv(3)且在概率密度函数(,...
2.10二维离散型随机变量定义若二维随机变量(,)XY的所有可能取值为有限对或无限可列对，则称(,)XY为二维离散型随机变量.设(,)XY的所有可能取值为(,)ixyj，,ij1,2,3,，则称P(,),,1,2,ijijXxYypij(1)为(,)XY的分布律或X、Y的联合分布律.显然，ijp满足P(,)0,1.ijijijijXxYypp(2)且(,)XY的联合分布函数为(,)P(,).iiijxxyyFxyXxYyp(3)(1)式还可以用下列表格表示.表二维离散型随机变量的联合分...
11.9全概率公式概率论中，有时讨论一个复杂事件的概率，常需要将该事件分解为若干个互不相容的较简单的事件，再计算这些较简单事件的概率并求和.这就要运用到概率论的一个基本公式——全概率公式.定义设为随机试验E的样本空间，1,2,,nBBB为E的一组事件，若1,2,,nBBB满足（1）iBBj，,,1,2,,ijijn；（2）1niBi，则称1,2,,nBBB为样本空间的一个划分或完备事件组.定理设1,2,,nBBB是随机试验E的样本空间的一个划...
11.8条件概率与乘法公式条件概率是概率论中的一个重要的概念，它与独立性有着紧密的联系.这里主要介绍条件概率的概念以及与条件概率有关的乘法公式，重点是理解条件概率的概念，难点是在实际问题中，如何应用乘法公式.一、条件概率1.问题的提出实际问题中经常会遇到某一现象发生对另一现象发生的影响，或“已知某一事件B已经发生的条件下，求另一事件A发生的概率”，这种概率记为P(|)AB.由于是在已知事件B发生的条件下所求的概...
110.7概率的公理化定义及性质1.概率的公理化定义概率的统计定义、古典定义、几何定义为我们提供了几种具体的特定场合下概率的计算方法，但又表现出来不严谨和局限性.作为概率论中最基本的概念，概率需要一个统一的严格的数学定义.定义1设随机试验E的样本空间为，对于E的任一事件A，赋予一个实数P()A，如果它满足以下三条性质：（1）非负性：P()A0；（2）规范性：1P()；（3）可列可加性：对于可列无穷个两两互不相容的事...
11.6概率的几何定义设随机试验E的样本空间是可度量区域，若样本点随机落在内的任何子区域A内的可能性大小只与A的度量成正比，而与A的形状、位置无关，则称E是一个几何概型试验，简称几何概型.设E是上述几何概型，我们仍用A表示“样本点落入的某一子区域A内”这一事件，则A发生的概率为P()AA的度量的度量按上式计算出的概率称为几何概率.例1从(0,1)中随机地取出两个数，求两数之和小于1.2的概率.解设这两个数分别为x与...
1.4概率的统计定义设随机试验E，A是E的某个事件.将试验E重复进行n次，引入记号()AnnfAn，其中An表示n次试验中A发生的次数.称nf()A为n次试验中A发生的频率.当试验次数n较小时，()nfA具有较大的不确定性.但当n越来越大时，()nfA往往会越来越稳定在某个常数附近波动，该现象称为随机事件频率的稳定性.它是随机现象统计规律性的体现，是由事物的某种本质属性决定的.一个比较典型的例子是抛硬币试验.历史上有几位著名的统计学家曾...
1.3事件的关系与运算1.事件的关系和运算一个随机试验有多种可能结果或事件，它们之间存在着各种关系，可以进行各种运算.事件是样本空间的子集，事件之间的关系与运算也可以按照集合之间的关系与运算来处理.设随机试验E的样本空间是，而(1,2,)kABCAk，，，是随机事件.（1）事件的包含若在一次试验中，事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，或事件B包含事件A，记为AB.例如，随意抛掷一枚骰子，设A{得到的点...
1.2随机现象的描述研究一个随机现象，首先要描述该随机现象，尤其是要量化地描述该随机现象.下面借助集合这个数学工具来量化地描述随机现象.1.样本点与样本空间我们将随机试验E的每个基本可能的结果称为该试验的一个样本点.此处“基本”意为“不能或不必再分割”.例如，设1E表示随意抛掷一枚骰子，可以认为1E的所有样本点是：123456,，，，，，其中i表示“得到i点”(i1,2,3,4,5,6).又如，设2E表示一个射手进行...
11.12试验的独立性1.独立试验序列在实际问题中事件的独立性常常伴随着独立随机试验序列而出现.定义设{,1,2,}iEi是一随机试验序列，iE的样本空间为iΩ.设kA是kE的任一事件，如果kA发生的概率不依赖于其它各次试验的结果，则称{,1,2,}iEi是一个独立试验序列.例如，射手向目标射击n次、抛掷n次硬币或进行n次有放回抽样都是独立试验序列.它们都是“在同样条件下重复试验”的数学模型，是一类重要的独立试验序列，并且12n...
