第11讲三角恒等变换教材核心知识课标要求学业水平评价要求两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式3.能运用上述公式进行简单的恒等变换掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式掌握简单的恒等变换理解1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α∓β)=cosαcosβ±sinαsinβ;tan(α±β)=tan𝛼±tan𝛽1∓tan𝛼tan𝛽.2.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).(2)tanαtanβ=1-tan𝛼+tan𝛽tan(𝛼+𝛽)=tan𝛼-tan𝛽tan(𝛼-𝛽)-1.3.f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数),可以化为f(α)=ξ𝑎2+𝑏2sin(α+φ)(其中tanφ=𝑏𝑎)或f(α)=ξ𝑎2+𝑏2cos(α-φ)(其中tanφ=𝑎𝑏).特别地,sinα±cosα=ξ2sin(α±π4).重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角:对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.考点一考点二考点三考点四利用三角恒等变换解决给角求值问题例1求下列各式的值:(1)(cosπ12-sinπ12)(cosπ12+sinπ12);(2)2cos105°cos15°;(3)cos10°(1+ξ3tan10°)cos50°.考点一考点二考点三考点四解(1)(cosπ12-sinπ12)(cosπ12+sinπ12)=cos2π12-sin2π12=cosπ6=ξ32.(2)2cos105°cos15°=2cos(90°+15°)cos15°=2(-sin15°)cos15°=-2sin15°cos15°=-sin30°=-12.(3)依题意得cos10°(1+ξ3tan10°)cos50°=cos10°+ξ3sin10°cos50°=2sin(10°+30°)cos50°=2sin40°sin40°=2.考点一考点二考点三考点四本题解题思路是切化弦,利用二倍角公式、和差化积等公式化简求得结果.该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分.考点一考点二考点三考点四利用三角恒等变换解决给值求值问题例2已知cos(x-π4)=ξ210,x∈(π2,3π4).(1)求sinx的值;(2)求sin(2x+π3)的值.考点一考点二考点三考点四解(1)由x∈(π2,3π4),得x-π4∈(π4,π2),sin(x-π4)=ට1-cos2(𝑥-π4)=7ξ210,sinx=sin((x-π4)+π4)=sin(x-π4)cosπ4+cos(x-π4)sinπ4=7ξ210×ξ22+ξ210×ξ22=45.(2)由x∈(π2,3π4),cosx=-ξ1-sin2𝑥=-ට1-(45)2=-35,sin2x=2sinxcosx=-2425,cos2x=2cos2x-1=-725,sin(2x+π3)=s...