第14讲平面向量基本定理(坐标运算)教材核心知识课标要求学业水平评价要求平面向量基本定理及其意义能够掌握向量基本定理理解理解并掌握平面向量的正交分解及坐标表示掌握平面向量的坐标运算,共线的坐标表示理解1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=ඥ𝑥12+𝑦12.3.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(x2-x1,y2-y1),|𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ|=ට(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2.4.向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a∥b⇔x1y2-x2y1=0.考点一考点二考点三平面向量的基本定理例1已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4)e1+(3-5y)e2=2ye1-2e2,则=.𝑥𝑦答案2解析因为向量e1,e2不共线,所以൜3𝑥-4=2𝑦,3-5𝑦=-2,所以൜𝑥=2,𝑦=1,所以𝑥𝑦=2.考点一考点二考点三例2如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列说法中正确的是()A.若存在实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,λ1,λ2为实数C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对答案A考点一考点二考点三例4在△ABC中,已知𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(2,8),𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(-3,4),若𝐵𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=𝑀𝐶ሬሬሬሬሬሬԦ,则𝐴𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ的坐标为.答案(-12,6)解析由已知条件得𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ−𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(-5,-4),∵𝐵𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=𝑀𝐶ሬሬሬሬሬሬԦ,∴𝐵𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=12𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(-52,-2),∴𝐴𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ+𝐵𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=(-12,6).考点一考点二考点三平面向量共线的坐标表示例5(1)已知平面向量a=(1,x),b=(y,1),若a∥b,则实数x,y一定满足()A.xy-1=0B.xy+1=0C.x-y=0D.x+y=0(2)已知向量𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(1,-3),𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(2,-1),𝑂𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是.考点一考点二考点三答案(1)A(2)k≠1解析(1)略(2)若点A,B,C能构成三角形,则向量𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ,𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ不共线.因为𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ−𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(1,2),𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝐶ሬሬሬሬሬԦ−𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.