第15讲平面几何中的向量方法教材核心知识课标要求学业水平评价要求平面向量的数量积能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题理解两个向量平行垂直的关系理解平面向量的夹角、模长理解1.平面向量的数量积定义:设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.(1)两非零向量,则a与b的夹角为∠AOB,其范围是[0,π];(2)数量积是一个实数;(3)零向量与任一向量的数量积为零.a=𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ,b=𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ2.平面向量数量积的性质及运算律(1)数量积的重要性质对于非零向量a,b,①e·a=a·e=|a|cosθ,其中θ为a与e的夹角,e为单位向量;②a⊥b⇔a·b=0;③当a与b同向时,a·b=|a||b|,当a与b反向时,a·b=-|a||b|,a·a=|a|2,|a|=ξ𝑎·𝑎;④cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|,其中θ为a与b的夹角;⑤|a·b|≤|a||b|.(2)数量积满足的运算律①a·b=b·a;②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);③(a+b)·c=a·c+b·c.3.平面向量数量积、模、夹角的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=x1x2+y1y2.(2)|a|=ඥ𝑥12+𝑦12或|a|2=𝑥12+𝑦12.(3)cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2ට𝑥12+𝑦12ට𝑥22+𝑦22.4.向量垂直的充要条件设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量).考点一考点二考点三向量的夹角与模问题例1已知平面向量a,b满足|a|=ξ34,b=e1+λe2(λ∈R),其中e1,e2为不共线的单位向量,若对符合上述条件的任意向量a,b恒有|a-b|≥ξ34,则e1,e2夹角的最小值为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6考点一考点二考点三答案B解析设a,b夹角为α, |a-b|≥ξ34,∴a2-2a·b+b2=|b|2-ξ32|b|cosα+316≥316,∴|b|2-ξ32|b|cosα≥0,即|b|≥ξ32cosα,即|b|≥ξ32,∴|e1+λe2|2≥34,设e1与e2的夹角为θ,则𝑒12+2λ|e1||e2|cosθ+λ2𝑒22≥34, |e1|=|e2|=1,则λ2+(2cosθ)λ+14≥0,∴Δ=4cos2θ-4×14≤0,∴-12≤cosθ≤12,又θ∈[0,π],∴θ的最小值为π3.考点一考点二考点三(1)求夹角θ或模可以直接利用公式:cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2ට𝑥12+𝑦12ට𝑥22+𝑦22,|a|=ඥ𝑥12+𝑦12.(2)利用|a|2=a2,即|a|=ξ𝑎·𝑎.(3)利用方程与函数的思想构建关于角或模的函数或方程求解.考点一考点二考点三例2(2021年1月浙江学考)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=-1,则|a+b|=.答案ξ3解析|a+b|=ξ𝑎2+𝑏2+2𝑎·𝑏=ξ3.考点一考点二考点三向量的平行与垂直例3设向量a=(x-2,2),b=(4,y),c=(x,y),x,y∈R,若a⊥b,...