第16讲正弦、余弦定理教材核心知识课标要求学业水平评价要求正弦定理、余弦定理探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理掌握正弦定理、余弦定理的简单应用能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题理解1.正弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理内容(1)a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R变形(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(3)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;(4)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(5)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA2.余弦定理定理余弦定理内容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形cosA=b2+c2-a22bc;cosB=c2+a2-b22ca;cosC=a2+b2-c22ab3.三角形面积公式(1)S△ABC=12ah(h表示边a上的高).(2)S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆的半径).4.解三角形(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c,可以应用余弦定理求A,B,C.(5)判断三角形的形状通常利用正、余弦定理进行边角互化,根据边的关系或角的关系确定三角形的形状.(6)在△ABC中,a>b>c⇔A>B>C⇔sinA>sinB>sinC.考点一考点二考点三考点四正、余弦定理的应用例1(2018年6月浙江学考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=45°,C=30°,c=1,则b等于()A.ξ22B.ξ32C.ξ2D.ξ3答案C考点一考点二考点三考点四例2设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2ξ3,cosA=ξ32且b<c,则b等于()A.3B.2ξ2C.2D.ξ3答案C解析由b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,因为b<c=2,所以b=2.ξ3考点一考点二考点三考点四例3(2018年4月浙江学考)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,则cosC的取值范围是.答案[ξ53,1)解析设BC=a,由22=a2+32-2×3×acosC,得cosC=𝑎6+56𝑎≥2ට536=ξ53,当且仅当a=ξ5时,等号成立.∴ξ53≤cosC<1.考点一考点二考点三考点四(1)一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,就要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,就考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.考点一考点二考点...