专题(2)平面向量的几何意义、极化恒等式、等和线一、平面向量的几何意义如图,设a,b是两个非零向量,𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=a,𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ=b,过𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ的起点A和终点B,分别作𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到𝐴1𝐵1ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ,我们称上述变换为a向b投影,𝐴1𝐵1ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ称为a在b上的投影向量,将|a|cosθ称为a在b上的投影数量,易知可正可负可为0.二、极化恒等式1.极化恒等式的定义设a,b是两个平面向量,则有a·b=,我们称这个等式为极化恒等式.(𝑎+𝑏)2-(𝑎-𝑏)242.极化恒等式的几何意义通过极化恒等式,向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”和“差对角线”的平方差的.14在三角形中,也可以用三角形的中线来表示,即.它揭示了三角形的中线与边长的关系.a·b=|𝐴𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ|2-|𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ|24三、等和线如图,平面内一组基底𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ,𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ及任一向量𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ,𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ=x𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ+y𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ.连接AB,OP相交于点Q,则x+y=𝑂𝑃𝑂𝑄,过P作AB的平行线分别交OA,OB于A1,B1,则由相似三角形可得x+y=𝑂𝑃𝑂𝑄=𝑂𝐴1𝑂𝐴=𝑂𝐵1𝑂𝐵.1.若P与O在AB同侧,则x+y=𝑂𝑃𝑂𝑄<1;2.若P在AB上,则x+y=𝑂𝑃𝑂𝑄=1(三点共线);3.若P与O在AB异侧,则x+y=𝑂𝑃𝑂𝑄>1.考点一平面向量的投影例1在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=ξ1-𝑥2上一个动点,求𝐵𝑃ሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ的取值范围.解设P(cosθ,sinθ),0≤θ≤π,𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(1,1),𝐵𝑃ሬሬሬሬሬԦ=(cosθ,1+sinθ),∴𝐵𝑃ሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ=cosθ+1+sinθ=ξ2sin(θ+π4)+1,θ∈[0,π],易得sin(θ+π4)∈[-ξ22,1],故𝐵𝑃ሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ∈[0,1+ξ2].例2已知单位向量e,平面向量a,b满足a·e=2,b·e=3,a·b=0,求|a-b|的最小值.解由题意得,a在e上的投影数量为2,b在e上的投影数量为3,建系如图:设A(2,m),B(3,n),a=(2,m),b=(3,n),m>0,n<0,a·b=0⇒6+mn=0⇒n=-6𝑚,a-b=(-1,m-n),|a-b|=ට1+(𝑛-𝑚)2=ට1+(𝑚+6𝑚)2≥ට1+(2ξ6)2=5,当且仅当m=ξ6时,等号成立.考点二极化恒等式例3在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,求.𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ解方法1:极化恒等式由极化恒等式可知:𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(𝐴𝐵ሬሬሬሬሬሬԦ+𝐴𝐶ሬሬሬሬሬሬԦ)2-(𝐴𝐵ሬሬሬሬሬሬԦ-𝐴𝐶ሬሬሬሬሬሬԦ)24=(2𝐴𝑀ሬ...