习题5.11．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘,所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵,所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭,构成实数域上的线性空间.2．全体正实数R+,其加法与数乘定义为判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答是.设.因为,,所以对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律(1);(2);(3)中存在零元素1,,有;(4)对中任一元素，存在负元素,使;(5);(6);(7);所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.3.全体实n阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.答否..故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）,全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在中，答否.,也就是说集合对加法不封闭.习题5.21．讨论中的线性相关性.解设,即.由系数行列式知,2．在中，求向量其中解设由得.故向量为(1,0,-1,0).解设则有.由得.故向量为（-7，11，-21，30）.4．已知的两组基（Ⅰ）：（Ⅱ）：（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）已知向量；（3）已知向量;（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量.解（1）设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵,由(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C即,知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为.（2）首先计算得,于是α在基β1,β2,β3下的坐标为.（3）β在基α1,α2,α3下的坐标为.(4)设在基β1,β2,β3下的坐标为,据题意有,解此方程组可得=..5．已知P[x]4的两组基（Ⅰ）：（Ⅱ）：（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).解(1)设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵,由C有..（2）设多项式f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为.据题意有0（*）因为所以方程组（*）只有零解，则f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为，所以f(x)=0习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间同构.证明设线性方程组为AX=0,对系数矩阵施以初等行变换..实系数多项式空间的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间同构.习题5.41．求向量的长度.解.2．求向量之间的距离.解.3．求下列向量之间的夹角（1）（2）（3）解（1）.（2）,.（3）,,,.3．设为n维欧氏空间中的向量，证明:.证明因为所以,从而.习题5.51．在R4中...