第二章连续系统的时域分析第二章连续系统的时域分析微分方程的经典解法微分方程的经典解法00++和和0-0-初始值初始值零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应卷积积分卷积积分2.1LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解微分方程的经典解：y(t)(y(t)(完全解完全解)=y)=yh(t)(h(t)(齐次解齐次解)+yp(t)()+yp(t)(特解）特解）齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程yyh(t)h(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。一般情况下，n阶方程有n个常数，可用个n初始值确定。nitihCeitr1()i为特征根为特征根[例2.1.1]描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)，求（1）当f(t)=2，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。e2tte解解::(1)(1)特征方程为特征方程为+5λ+6=0+5λ+6=0其特征根其特征根λλ11==––22，，λλ22==––33。。齐次解为齐次解为2tthCeCety2221()由表2-2可知，当f(t)=2时，其特解可设为ttttePePePe26)5(将其代入微分方程得解得P=1于是特解为全解为：tpety)(tpPety)(tttpheCeCetyytyt3221()())(et其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解ttteeeyt3223()（2）齐次解同上。当激励f(t)=时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为yp(t)=(P1t+P0)代入微分方程可得P1=e2t所以P1=1但P0不能求得。全解为e2te2te2ttttttttteCePeCPeteCeCety2322012023221)()(将初始条件代入，得：y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2C2=–1最后得微分方程的全解为上式第一...