考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设为四阶方阵，其中为的第个列向量,令，则。2、设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，则。3、设，且，则。4、若阶方阵有特征值，则必有特征值。5、若二次型经正交变换化为，则。二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是阶方阵，则的必要条件是（）。（A）中两行（列）元素对应成比例；（B）中有一行元素全为零；（C）任一行元素为其余行的线性组合；（D）必有一行元素为其余行的线性组合。2、设是阶对称阵，是阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（A）；（B）；（C）；（D）。3、设向量组当（）时，向量组线性相关。（A）5（B）4（C）3（D）24、设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量，为任意常数，则非齐次线性方程组的通解为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。5、设方阵是正定矩阵，则必有（）。（A）；（B）；（C）；（D）。三、（本题8分）计算行列式，其中。四、（本题12分）设，且，求矩阵及，其中为的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分）设向量组不能由向量组线性表示。（1）求向量组的一个极大无关组；（2）求的值；（3）将向量用线性表示。六、（本题14分）设齐次线性方程组（Ⅰ）为，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为。（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。七、（本题14分）设矩阵，（1）已知的一个特征值为求；（2）求方阵，使为对角阵。八、（本题8分）试证明：阶矩阵的最大特征值为，其中。参考答案一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、；3、4；4、；5、1。二、选择题（本题15分，每题3分）1、D；2、B；3、A；4、C；5、B.三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：原式=。四、（本题12分）解：由，得：，可逆，故；由于，。五、（本题14分）解：（1）令，，则线性无关，故是向量组的一个极大无关组；（2）由于4个3维向量线性相关，若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；于是线性相关，从而。（3）令，。六、（本题14分）解：（1），所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：；（2）设，即，故上述方程组的解为，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：。七、（本题14分）解：（1）将代人上式，得；（2）由（1）得，显然为实对称阵，而令，显然也是实对称阵，是单位阵，由，得的特征值，属于对应的特...