与圆有关的证明与计算1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别在AC、BC、AB的边上，以AF为直径的⊙O恰好经过点D、E，且DE＝EF.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，求的值．第1题图(1)证明：如解图，连接OD，OE，DF， AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°， ∠C＝90°，∴DF∥BC， DE＝EF，∴DE＝EF，∴OE⊥DF，∴OE⊥BC， OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；第1题解图(2)解： ∠B＝30°，且OE⊥BC，∴∠BOE＝60°， OE＝OF，∴△OEF是等边三角形，∴∠OEF＝60°，又 DE＝EF，OE⊥DF，∴∠OED＝∠OEF＝60°，∴∠CED＝30°，∴∠CDE＝60°，在Rt△CDE中， tan∠CDE＝tan60°＝＝，∴＝.2．如图，在Rt△BGF中，∠F＝90°，AB是⊙O的直径，⊙O交BF于点E，交GF于点D，AE⊥OD于点C，连接BD.(1)求证：GF是⊙O的切线；(2)若OC＝2，AE＝4，求∠DBF的度数．第2题图(1)证明： AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，又 ∠F＝90°，∴∠AEB＝∠F，∴AE∥GF， AE⊥OD，∴OD⊥GF， OD是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线；(2)解： OD⊥AE，∴AC＝CE＝AE＝2， OA＝OB，∴OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝4，∴在Rt△AOC中，OA＝＝＝4， ∠CEF＝∠DCE＝∠F＝90°，∴四边形CDFE是矩形，∴DF＝CE＝2，EF＝CD＝OD－OC＝4－2＝2，∴BF＝BE＋EF＝4＋2＝6，∴tan∠DBF＝＝＝，∴∠DBF＝30°.3．如图，点C是⊙O的直径AB的延长线上一点，点D在⊙O上，且∠DAC＝30°，∠BDC＝∠ABD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OF∥AD分别交BD、CD于点E、F，BD＝2，求OE、CF的长．第3题图(1)证明：如解图，连接OD， AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∠DAC＝30°，∴∠ABD＝60°，∴∠BDC＝∠ABD＝30°. OD＝OB，∴∠ODB＝60°，∴∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°，即OD⊥DC， OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第3题解图(2)解： OF∥AD，∠ADB＝90°，∴OF⊥BD，∠BOE＝∠A＝30°， OD＝OB，∴DE＝BE＝BD＝1. 在Rt△OEB中，∠BOE＝30°，∴OB＝2BE＝2，∴OE＝＝＝. OD＝OB＝2，∠C＝∠ABD－∠BDC＝30°，∠DOF＝30°，∴CD＝＝2，DF＝OD·tan30°＝，∴CF＝CD－DF＝2－＝.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若AB＝6，sin∠BAC＝，求BE的长．第4题图(1)证明：如解图，连接OD， BD是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2， OB＝OD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DO∥BC， ∠ACB＝90°，∴∠ADO＝90...