一维抛物线偏微分方程数值解法（3）上一篇参看一维抛物线偏微分方程数值解法（2）（附图及matlab程序）解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）Ut-Uxx=0,0<x<1,0<t<=1（Ut-aUxx=f(x,t),a>0)U(x,0)=e^x,0<=x<=1,U(0,t)=e^t,U(1,t)=e^(1+t),0<t<=1精确解为：U(x,t)=e^(x+t);此种方法精度为o(h1^2+h2^2)一：用追赶法解线性方程组（还可以用迭代法解）Matlab程序function[upext]=CN(h1,h2,m,n)%Crank-Nicolson格式差分法解一维抛物线型偏微分方程%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m,n分别为空间，时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差x=(0:m)*h1+0;x0=(0:m)*h1;%定义x0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%t=(0:n)*h2+0;t0=(0:n)*h2+1/2*h2;symsf;for(i=1:n+1)for(j=1:m+1)f(i,j)=0;%f(i,j)=f(x0(j),t0(i))==0%endendfor(i=1:n+1)u(i,1)=exp(t(i));u(i,m+1)=exp(1+t(i));endfor(i=1:m+1)u(1,i)=exp(x(i));endr=h2/(h1*h1);for(i=1:n)%外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%a(1)=0;b(1)=1+r;c(1)=-r/2;d(1)=r/2*(u(i+1,1)+u(i,1))+h2*f(i,j)...+(1-r)*u(i,2)+r/2*u(i,3);for(k=2:m-2)a(k)=-r/2;b(k)=1+r;c(k)=-r/2;d(k)=h2*f(i,j)+r/2*u(i,k)+(1-r)...*u(i,k+1)+r/2*u(i,k+2);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%enda(m-1)=-r/2;b(m-1)=1+r;d(m-1)=h2*f(i,j)+r/2*(u(i,m+1)+u(i+1,m+1)...)+r/2*u(i,m-1)+(1-r)*u(i,m);for(k=1:m-2)%开始解线性方程组消元过程a(k+1)=-a(k+1)/b(k);b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k);d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k);endu(i+1,m)=d(m-1)/b(m-1);%回代过程%for(k=m-2:-1:1)u(i+1,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i+1,k+2))/b(k);endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)p(i,j)=exp(x(j)+t(i));%p为精确解e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));%e为误差endend[upext]=CN(0.1,0.005,10,200);surf(x,t,e);shadinginterp;>>xlabel('x');ylabel('t');zlabel('e');>>title('误差曲面')plot(x,e)plot(t,e)误差较向前欧拉法减小一半但是运行时间较长，约39秒,而前两次运行只需l秒左右；[upext]=CN(0.01,0.01,100,100);运行需三分钟左右,误差比前次提高五倍,运算量也提高五倍[upext]=CN(0.1,0.1,10,10);surf(x,t,e)运行需要2秒；精度还是挺高的；[upext]=CN(0.1,0.2,10,5);surf(x,t,e)误差还可以接受此种方法精度高，计算量较大二：用迭代法解线性方程组：Matlab程序如下：function[uepxtk]=CN1(h1,h2,m,n,...