一道数学高考题的分析广东考题：一条双曲线2x221y的左、右顶点分别为A1，A2，点Pxy，(,)11Qxy是双曲线上不同的两个动点．(,)11（Ⅰ）求直线AP与1AQ交点的轨迹E的方程；2（Ⅱ）若过点H0,hh1的两条直线l和l2与轨迹E都只有一1个交点，且ll,求h的值．12说明：（1）本题有考查知识、思想方法与能力的多项功能，是一道难度较大的综合问题，对考生的数学素养要求较高．①知识：可以考查双曲线，椭圆，直线与圆锥曲线的位置关系及曲线方程的有关知识．②思想方法：可以考查化归与转化、函数与方程、数形结合、分类与整合的数学思想方法；还用到了待定系数法，代入法，消元法（代入消元或整体消元），反证法及设而不求等技巧．③能力：可以考查推理论证能力，运算求解能力与数学探究能力．（2）本例有高达52．8%的考生0分，平均得1．47分，难度系数为0．105，这表明本题理论上的潜在功能尚未发挥出来（难度系数低于0．2的考题有“形同虚设”之嫌）．因此，本题还有继续揭示解题思路的必要，为了提高题目的新鲜感和一般性，“”我们以推广的形式来展开，行文中顺便也对题目与解法提出一些商讨性的改变．如：把题目“只有一个交点”“”改为只有一个公共点．因为直线与圆锥曲线的切点常指两个重合的交点（比如用判别式法时，对应的二次方程是有两个相等的实根、而不是只有一个实根），它与直线交双曲线（或抛物线）“”于一个交点是不同的，“”此处的一个交点有可能给题意带来歧义．首先给出推广题目．例：已知双曲线22xy2210abab的左、右顶点分别为A1，A2，点Pxy，(,)11Qxy是双曲线上不同的两个动点．(,)11（Ⅰ）求直线AP与1AQ交点的轨迹E的方程；2（Ⅱ）若过点H0,hhb的两条直线l、l2与轨迹E都只有一个1公共点，且l1l，求h的值．2一、第（Ⅰ）问的讲解分4步作讲解．1．弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？我们说条件有5个：（1）给定一条双曲线22xy221ab0ab．（2）取已知双曲线的左、右顶点A，1A，这是文字语言，2不能运算、难以推理，其数学含义是A1a,0，A2a,0．（3）取已知双曲线上不同的两个动点Pxy，Q(x1,y1)，其(,)11中在“双曲线上”是文字语言，不能运算、难以推理，其数学含义是坐标满足22xy11，而“”不同也是文字语言，不能运算、难221ab以推理，其数学含义是yy，即y10．11（4）由条件（2）、（3）保证了A，P是不同的两个点，可1以确定直线AP，这也是文字语言，不能运算、难以推理，它的1y一个数学含义为1yxaxa1（直线方程的两点式）．...