§10.4.二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数zf(x,y)的两个（一阶）偏导数zxz,仍是x与y的二元函数.y若它们存在关于x和y的偏导数，即zxzx,zyzx;zxzy,zyzy.称它们是二元函数zf(x,y)的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为：zxzx表为2z2x或f(x,y).xxzyzx表为2xzy或f(x,y).xy（混合偏导数）zxzy表为2zyx或fyx(x,y).（混合偏导数）zyzy表为2yz2或f(x,y).yy一般地，二元函数zf(x,y)的n1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n阶偏导数.二元函数的n阶偏导数至多有n2个.二元函数zf(x,y)的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号nxnkzky(n)xy或f(,)nkkxy表示二元函数zf(x,y)的n阶偏导数，首先对x求nk阶偏导数，其次接着对y求k阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n元函数的高阶偏导数.3y3x2yxy2例1.求函数zx33的二阶偏导数.zz2xy2xxy3232解：36.332.xyxyyxy2z2x63xy6.y2y2z962.2222z962.xyxyxyxyxxy2xzy2yzx2z36xy2x.2y1222例2.证明：若u,r(xa)(yb)(zc),则r2u2x2u2y2u2z0.证明：由§10.3.例2，有uxxrauybuz,,3r3yrz3c.32r(xa)3ru2xr62rxrxaxrr3()3xar6r2xar1323xa5().rr同样，可得2u2213u1322.y(yb),(zc)35235rrzrr222uuu33222于是，[(xa)(yb)(zc)]22235xyzrr333r3r0.定理1.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)的邻域G存在二阶混合偏导数fxy(x,y)与f(x,y)yx，并且它们在点P(x0,y0)连续，则fxyyx(1)(x0,y0)f(x0,y0)2证明令F(x,y)(,)(,)fx0xyyfxxy000(,)(,)fx0yyfxy，000①令(x)(,)(,).对(x)在[x0,x0x]上应用拉格朗日中fxy0yfxy0值定理,得F(x,y)(x01x)xfx(x01x,y0y)fx(x01x,y0)xfxy(x01,02)；xyyxy②令(y)f(x0x,y)f(x0,y).同样方法可以得到F(x,y)fyx(x0,).于是有xyxxy304fxy0xyyfyx(x03x,y04x).(x,)102令x0,y0,取极限得(1)式.例3.证明：若zf(x,y),xcos,ysin,则22fff22ff11x2222y2.证明：ffxxfyyfxfcossin.yffxxfyyfxfsincos.y2f2ffffxcosfysin2f2x2cos2xfysincos2yfxsincos2f2y2sin.2f2ffffxsinfycos2f2x22fsin22xysincosfxcos32yfx2sincos2yf222cosfysin.2222f1f1fff2222于是，(cossin)(sincos)22222xyfcosfsinfcosfsinxyxy22ff22xy.2f2ff22ff11即.22222xy★说明：定理1的结果可推广到n元函数的高阶混合偏导数上去.例如，三元函数f(x,y,z)关于x,y,z的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个：3fy,zy3fxz,y3fzx,x3fzy,z3fxy,z3fy.xx若它们在点(x,y,z)都连续，则它们相等.若二元函数f(x,y)所有的混合高阶偏导数都...