第二章度量空间作业题答案提示1、试问在上，能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有,而，2、试证明：（1）;(2)在上都定义了度量。证：（1）仅证明三角不等式。注意到故有（2）仅证明三角不等式易证函数在上是单调增加的，所以有,从而有令,令即4.试证明在上，定义了度量。证：（1）（因为x,y是连续函数）及显然成立。5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明证：8.试证明下列各式都在度量空间和的Descartes积上定义了度量证：仅证三角不等式。（1）略。(2)设，，则（3）9、试问在上的是什么？上图像以为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。10、试考虑并确定使得的最小，其中。11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。设是离散度量空间的任一子集。，开球，故事开集。同样道理，知是开的，故又是闭集。12．设是的聚点，试证明的任何邻域都含有的无限多个点。证：略。13．（1）若度量空间中的序列是收敛的，并且有极限，试证明的每个子序列都是收敛的，并且有同一极限。（2）若是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列，，试证明也是收敛的，并且有同一极限。（1）略（2），，当时，有，（是Cauchy序列且）因此，当时，18.试证明：Cauchy序列是有界的.证明：若是Cauchy序列，则存在,使得对于一切,有,因此，对于一切，有19.若和都是度量空间中的Cauchy列，试证明：是收敛的。证：根据三角不等式，有故，同样有：即：而是完备的，则是收敛的。34.若是紧度量空间，并且是闭的，试证明也是紧的。证明：因为是紧的，故中任一序列有一个在中收敛的子序列。不妨设，则有。又因是闭的，所以，因此是紧的。第三章线性空间和赋范线性空间10.试证明下列都是上的范数（1）；(2);(3);是范数吗？（1）、（2）和（3）的证明略不是范数，不满足三角不等式。以为例，令则13.试证明（1）、和都是的线性空间，其中是收敛数列集；是收敛数列0的数列集；是只有有限个元素的数列集。（2）还是的闭子空间，从而是完备的。（3）不是的闭子空间。证明：（2）设，,使得.则有任意的，使得对于一切，当,时有,又因为，所以当时从而有于是，故14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。令，则，且于是，收敛但15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。证：设{X}是X中任一Cauchy列，则kN，n，s.t.当m，nn时，。而且对一切的k，可选取n>n，从而{S}是{S}的一个子列并且令X=S，X=S-S，则{S}是级数的部分...