1清华大学2016年暑期学校测试真题1.已知且，则的取值范围是.【答案】【解析】根据题意，有，于是的取值范围是.2.在锐角中，，则的面积是.【答案】【解析】解法一：由正弦定理可得，其中R为外接圆半径，于是，从而根据余弦定理，解得（此时B为钝角，舍去）或.因此的面积.解法二：根据正弦定理，于是2，其余同解法一.3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于A，C两点，直线的斜率为1，过点作直线与椭圆交于B，D两点，且，则四边形的面积是.【答案】【解析】由焦点弦长公式，可得四边形的面积其中.4.在正方体的底面内有一点，且，则的最大值是.【答案】【解析】作平面，如下页图，根据题意，点在线段上运动.于是3,当位于的中点时取得等号，因此所求的最大值为.5.已知集合,则.【答案】-9【解析】根据题意，于是，从而由韦达定理得，于是.6.圆心为点的单位圆沿轴正向滚动，初始时刻点的坐标为，当圆心运动到时，点的坐标为.【答案】【解析】先考虑旋转，则整个圆顺时针旋转了，于是点旋转到点；再考虑平移，可得7.已知等差数列的前项和为，且，，则.【答案】-2121【解析】根据题意，关于的方程4有两个实数根和，考虑到形如，因此由可得，.备注：一般地，若等差数列的前项和满足且，则.8.数列满足，，，已知的通项可以表示成的形式，则数列通项的一个表达试为.【答案】【解析】根据题意，有于是考虑周期为3，对应，由得解得，，取，于是可取.59.定义，且.集合，集合.(1)求，.(2)设为集合的元素个数，求的最小值.【解析】(1)根据的定义，有,.(2)设集合中有个元素既不在中也不在中，个元素只在集合中，个元素只在集合中，个元素同时在集合,中，如图.则当,时等号成立，即，且时可取到最小值，也可以直6接取，因此所求的最小值为2016.10.已知，自变量、相位、函数值的部分取值如下表3(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)求在内的所有零点.【解析】(1)根据题意，也即.(2)函数的单调递增区间为.(3)函数的零点形如，或，7解得其在内的所有零点为.11.已知圆，为圆与轴的两个不同的交点，是圆在点处的切线，为圆上不与重合的点，过点的切线交于两点，与交于点.(1)求与之间的数量关系；(2)存在一点且，使得的最小值是，求的值.【解析】(1)如图，设在轴上的投影为，则由梯形的性质可得其对角线的交点为线段的中点.因此与之间的数量关系为.(2)根据题意，由于，，因此只有8解得.12.已知直线为曲线在点处的切线.(1)求直线的方程(2)求证：当时，直线...