清华大学2015年暑期学校测试真题1.（1）求在上的最小值。（2）对于任意不同两数，恒成立，求的取值范围。【解答】函数单调性的讨论，拉格朗日中值定理（1）考虑的导数：。于是当时，单调递减；当时，单调递增，只需对的大小分类讨论即可：当时，在上最小值为；当时，在上最小值为。（2不妨假设，在恒成立。注意，为导函数形式，令，由拉格朗日中值定理，存在中的一点使得等于上式，故只需求在上导数的最大值即可，该最大值在右端取得，同时原式只能无限趋向于该值，所以。同理对另一部分同样计算。于是可得到的取值范围是或者。2.一点从出发，掷一枚骰子，若大于等于5点，则沿平行于方向（正反方向均可）移动一步，若小于等于4点，则沿平行于方向（正反方向均可）移动一步，设掷次骰子后回到点的概率为，回到点的概率为。（1）求（2）设掷4次骰子经过点的次数为，求的分布列。（3）是比较，，的大小（直接写出结果）【解答】数列的递推和归纳法（1）已知每一步沿水平方向走得概率为，沿垂直方向走得概率为，两次后回到A点的概率，有两种可能：沿垂直方向上下或者沿水平方向上下。故。（2）直接计算可得：（3）注遗到掷偶数次不可能停在点或点。故。由第一问，，故掷两次后停在点概率为，记作。设掷次骰子后回到点的概率为，可以得到递推公式：。两式相减得，可以归纳得到对任意成立，因为，所以，可得。3.圆，圆心为，点，作圆上任一点和点连线的中垂线，交于。（1）求的轨迹方程。（2）轴上一定点，过点的直线交于两点，，求的取值范围。（3）在曲线上任取两点，且不垂直于轴，线段的中垂线交轴于点，求证。【解答】解几中的几何法和联立（1）注意到，因此点在以、为焦点，的椭圆上。故的轨迹的方程为：（2）不妨设在上方。若，则。若不然，由图像可知，离轴夹角越大，越大，越小。则可得。故的取值范围为。（3）设，。则又因为线段的中垂线交轴于点，故。将消去，化简即得：。利用，得到。4.（1）求的递减区间。（2）若有两个不同实数根，，求的取值范围。【解答】三角函数代换（1）化简可得：于是易知求的递减区间为。（2）。于是由图像即得的取值范围为。5.5个人下棋，平局两人各得1分，赢的人得2分，输的人得0分，下了若干盘后所有人分数两两不同，求至多还没下几盘棋？【解答】极限法，这里用到极限法，先求最小值，再去构造，在组合的极限原理中也有运用5个人分数两两不同，因此他们得分至少为0、1、2、3、4，共10分，每局比赛无论输赢如何...