3212010015刘正Riemann积分和Lebesgue积分【摘要】本文首先从定义角度出发解析了R积分与L积分的关系，然后叙述了σ-可加性，做了关于L积分和R积分的对比并就其存在性提出了观点。讨论了L积分理论中涉及的一些逼近及其证明并给出了相关的看法。【关键字】辨析关系极限逼近1.从定义角度深刻辨析R积分与L积分1.1R积分与L积分的定义本文认为Riemann积分和Lebesgue积分的关系可以用这样一句话来表示：同一个梦想，不同的方法。首先数学应该源于生活，数学的一切发展都是为了更好的帮助我们解释生活了解世界。因此不妨先从基本的定义出发研究L积分与R积分的关系。首先从逼近的角度对L积分作如下定义:设f(x)是E⊂Rn(mE<∞)上的非负可测函数.我们定义是E上的Lebesgue积分∫Ef(x)dx=sup¿h(x)≤f(x)¿x∈E¿¿¿是Rn上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∫Ef(x)dx<∞,则称在E上Lebesgue可积的。设是E⊂Rn上的可测函数,若积分∫Ef+(x)dx，∫Ef−(x)dx中至少有一个是有限值,则称∫Ef(x)dx=∫Ef+(x)dx−∫Ef−(x)dx为是E上的Lebesgue积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称是E上是Lebesgue可积的。1(x)f(x)f(x)f(x)ff(x)3212010015刘正以上定义L积分的方法为逼近法，即从特征函数的积分入手，用简单可测函数来逼近可测函数的方法.这也是L积分涉及的逼近的一部分.虽然在之前的数学分析课上已经学过了R积分,但是为了更加清楚的对比R与L积分,不妨再次给出其定义.不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。这就是黎曼积分定义的大概描述。S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割,，……,；，，……只要它的子区间长度最大值，就有：也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。1.2R积分与L积分定义的直观比较其实只要简单分析一下就可以对这两个积分有一个直观的比较，也可以通过一些日常生活中的例子来区别两种积分，例如课本第二版序言中用10000枚硬币的记数方式的不同。这里本文借用前人给出的一个非常经典的例子来形象的说明这一区别。可以假设我们要计算一座山在海拔以上的体积。黎曼积分是相当于把山分为每块都是一平方米大的方块，测量每个方块正中的山的高度...