数学建模数学建模第四讲椅子放稳模型第四讲椅子放稳模型在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地,而使椅子不平稳。但我们的祖先为什么把都把椅子做成四脚连线呈正方形，矩形或等腰梯形。请你通过建立模型解释这一现象。一、问题重述在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们通过建立模型分别解决以下问题：1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放稳这一现象；2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的“挪动”能够放稳吗？3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。二、模型假设为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。假设1显然是合理的。否则即便放在平面上也不会是椅子放稳。假设2相当于给出了椅子能够放稳的必要条件，因为如果地面高度不连续（比如在有台阶或裂缝的地方）是无法使椅子四只脚同时着地。假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。首先，根据假设1，椅脚连线呈正方形,而正方形以中心为对称,即正方形绕中心的旋转可以表示椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。如图1，椅脚连线为正方形ABCD，在图1所示的坐标系下对角线AC与ox轴重合,椅子绕中心o旋转角度后,正方形转至的位置，如图2所示，即对角线AC与ox轴的夹角表示了椅子的位置。ABCDxBADCOD´C´B´A´正方形ABCD绕O点旋转三、建模与分析三、建模与分析其次，要把椅子着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖值距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同的位置时，椅脚与地面的距离不尽相同，所以这个距离是变量的函数。三、建模与分析三、建模与分析虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，即每一个椅脚和地面都有一个距离。但由假设3以及正方形关于中心的对成性，只要设两个距离就可以了...