2017年第3期物理通报物理问题讨论分运动独立的条件和理论基础王远征(山东省烟台第二中学山东烟台264000)(收稿日期:20161115)摘要:以微分方程的可加性为基础,论述了分运动独立与否的条件是———合运动的动力学方程可以写成两个分运动的动力学方程之和,为用运动的分解与合成解决复杂的运动指明了理论基础.关键词:分运动的独立性运动的分解与合成微分方程的可加性在研究复杂运动的时候,时常会出现两个分运【例2】如图1所示,在匀强磁场中由静止释放动相互独立的现象,即:一个分运动的改变并不影响一个带正电的微粒,证明它的运动轨迹是摆线.另一个分运动的快慢,于是,有人就得出了“运动的独立性原理”的说法.而实际上,分运动的独立性是有条件的,分运动不独立的现象比比皆是.【例1】一个小球以水平的初速度v0抛出,其受到的空气阻力和速度的平方成正比,试求该小球在水平和竖直两个方向的运动情况.图1磁场中静止释放正电荷的运动轨迹分析:物体的动力学方程为mg-kv2et=mdv2et=mdvdt分析:微粒的初速度是零,我们将运动是零的状态看作是向左速度v0和向右速度也是v0的两个运在x方向上,满足的方程为动的叠加,并设定v0的大小满足dvxdt-kvx+vyvx=m22同时在y方向上,满足的方程为dvydtmg-kvx+vyvy=m22(1)(2)qv0×B=mg所以,向右的运动是以v0为初速度的匀速直线运动,向左的运动因为只受洛伦兹力的作用,因而做匀速圆周运动.而这两个分运动的合运动正好组成无论我们将两个方程施加何种运算,既不能在方程摆线运动.(1)中消掉vy,也不能在方程(2)中消掉vx,这说明,我们刚才的计算,就建立在两个分运动的独立两个分运动就不是独立的.故而,运动的独立性原理性之上.现在,关键的问题是,我们怎么知道这两个不是一个真正的有普遍意义上的规律.分运动是独立的呢?我们的处理方法一定是正确的但是,如果两个分运动要是独立的话,就可以先呢?答案非常简单:我们分别列出两个分运动的动分别研究出两个分运动的情况,进而求出合运动的力学方程为情况,不光是我们处理复杂运动的重要手段,而且确qv0×B+mg=0(3)实可以使解题过程大为简化,特别是在中学阶段,这几乎是处理复杂运动问题的唯一手段.dv1dtqv1×B=m(4)——1072017年第3期物理通报物理问题讨论式中v1代表初速度向左的分运动的速度.而合运动了合运动的情况.的动力学方程一定可以写成如下的形式一般的,如果一个运动的动力学方程可以写成d(v0+v1)dtmg+q(v0+v1)×B=m(5)两个独立的运动方程之和.则两个分方程解的和就是总方程的解———即两个分...