2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a，b，c满足a2b3c0，则2a3b4c0，abbcca222abc的值为（）．（A）12（B）0（C）12（D）1【答案】A【解答】由已知得abc(2a3b4c)(a2b3c)0，故2(abc)0．于是1222abbcca(abc)，所以2abbcca222abc12．2．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程20axbxc有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以12x1，12x2为两个实根的是（）．（A）22(22)20cxbacxa（B）22(22)20cxbacxa（C）22(22)20cxbacxa（D）22(22)20cxbacxa【答案】B【解答】由于20axbxc是关于x的一元二次方程，则a0．因为x1x2ba，xx12ca，且x1x20，所以c0，且2211(xx)2xxb2ac121222222xxxxc1212，211a222xxc12，于是根据方程根与系数的关系，以12x1，12x2为两个实根的一元二次方程是22b2aca0，即22(22)20cxbacxa．2xx2cc3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不．一．定．是有理数的为（）．（第3题）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝有理数．ADBD2是有理数．于是，OD＝OA－AD是2ODOC，DEDC·DOOC由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE（第3题答题）都是有理数，而AC＝AD·AB不一定是有理数．4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C（第4题）【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因为BC4CF，所以S△ABC=4S△ACF．故阴影部分的面积为6．（第4题答题）5．对于任意实数x，y，z“，定义运算*”为：xy32233xy3xyxy4533x1y160，且xyzxyz，则20132012L32的值为（）．（A）607967（B）1821967（C）5463967（D）16389967【答案】C【解答】设20132012L4m，则20132012L43m3323m33m9m274532m3m3m164609，于是20132012L32923223392392924554633310360967．二、填空题6．设3a3，b是2a的小数部分，则3(b2)的值为．【答案】9【解答】由于21a2a3，故32292ba，因此333(b2)(9)9．7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是...